Mô hình tự hồi qui (Autoregressive model - AR) của chuỗi thời gian là gì?

Mô hình tự hồi qui (Autoregressive model - AR)

Khái niệm

Mô hình tự hồi qui trong tiếng Anh là Autoregressive model, viết tắt: AR.

Mô hình tự hồi qui là giá trị ước tính tương lai của mô hình phân tích chuỗi thời gian chỉ phụ thuộc vào giá trị trong quá khứ.

Khi sử dụng mô hình này, chúng ta có thể bỏ kí hiệu bình thường của y là biến phụ thuộc và x là biến độc lập vì không còn sự khác nhau. Chúng ta chỉ cần sử dụng x_t:

x_t = b₀ + b₁x_t–1 + b₂x_t–2 + … + b_px_t–p + ε_t

Các giả định chính

1. Chuỗi có tính dừng theo hiệp phương sai (Covariance-Stationary Series)

Chuỗi thời gian có tính dừng theo hiệp phương sai khi giá trị trung bình và phương sai không thay đổi theo thời gian. Cụ thể, chuỗi thời gian có tính dừng theo hiệp phương sai khi thỏa mãn 3 yêu cầu:

- Thứ nhất, giá trị kì vọng của chuỗi thời gian không đổi và hữu hạn trong tất cả các giai đoạn: E(y_t) = µ và |µ| < ∞, t = 1, 2, …, T.

- Thứ hai, phương sai của chuỗi thời gian không đổi và hữu hạn trong tất cả các giai đoạn.

- Thứ ba, hiệp phương sai của chuỗi thời gian của quá khứ hoặc tương lai phải không đổi và hữu hạn trong tất cả các thời kì.

Yêu cầu thứ hai và thứ ba thỏa mãn khi:

Cov(y_t ,y_t–s) = λ_s, |λ_s| < ∞, t = 1, 2, …, T; s = 0, ±1, ±2, …, ±T, trong đó λ (lamda) là hằng số.

2. Phần sai số có tính tương quan chuỗi

Chúng ta có thể ước tính một mô hình tự hồi qui bằng cách sử dụng bình phương nhỏ nhất thông thường (ordinary least square - OLS) nếu chuỗi có tính dừng theo hiệp phương sai và phần sai số không có tính tương quan.

Tuy nhiên, thử nghiệm trước đây về tương quan chuỗi trong thống kê của Durbin–Watson không có giá trị hợp lệ khi các biến độc lập bao gồm các giá trị trong quá khứ của biến phụ thuộc. Do đó, đối với hầu hết các mô hình chuỗi thời gian, chúng ta không thể sử dụng thống kê Durbin–Watson.

Chúng ta có thể sử dụng các thử nghiệm khác để xác định xem phần sai số trong mô hình chuỗi thời gian có tương quan với nhau không. Ba bước để xác định tính tự tương quan chuỗi của phần sai số trong mô hình có được xác định chính xác hay không:

- Thứ nhất, ước tính một mô hình tự hồi qui cụ thể (ví dụ mô hình bậc nhất:
x_t = b₀ + b₁x_t–1 + ε_t)

- Thứ hai, tính toán giá trị tự tương quan của phần dư (residuals) từ mô hình; chúng ta có thể tính giá trị này với hầu hết các phần mềm thống kê (ví dụ: Microsoft Excel)

- Thứ ba, kiểm tra nếu giá trị tự tương quan của phần dư không khác biệt đáng kể so với 0 thì mô hình được chỉ định chính xác

3. Hiện tượng đảo chiều về giá trị trung bình

Một chuỗi thời gian có sự đảo ngược về giá trị trung bình khi nó có xu hướng giảm khi mức của nó vượt quá mức trung bình và tăng khi giá trị của nó nằm dưới mức trung bình. Nếu một chuỗi thời gian hiện đang ở mức trung bình của nó thì mô hình dự đoán rằng giá trị của chuỗi thời gian sẽ giống nhau trong giai đoạn tiếp theo.

(Tài liệu tham khảo: CFA level II, 2020, Quantitative methods)